בהגיעם לשנתם התשיעית עוברים הילדים שינוי מכריע. יחסם הקרוב לעולם הסובב משתנה ונעשה מרוחק יותר. ההרמוניה הקודמת בין העולם החיצוני לפנימי נשברת לעיתים באופן יסודי. טרנספורמציה זו בנפשם של הילדים משתקפת בתכנית לימודי המתמטיקה כאשר בכיתה ד' הילדים מתחילים לעבוד עם מספרים שבורים (שברים). על ידי כך הם פוגשים בתוכן הלימודי משהו שהם חוו גם בתוכם.
אין זה מהותי עבור ילדים לשלוט במהירות בשברים. חשוב הרבה יותר שיוכלו להתנסות במושג השבר ולהבינו פנימית. בהקשר לכך, ההתפתחות ההיסטורית של חישובי-שברים במצרים תעניק למורה רעיונות לימודיים מעניינים ומשמעותיים. כדי לעשות צדק מלא בנושא השברים מומלץ לעבוד עם שלושת המתודות הבאות בתור מבוא: להתקדם מהשלם לחלקים, מהחלקים לשלם ולבסס את עיקרון שוויון הערך. לאחר מכן מתרגלים את ארבע פעולות החשבון עם שברים, כמו גם צמצום, הרחבה וחילוק של המכנה לגורמים ראשוניים.
אחרי-כן באים השברים העשרוניים בתור יישום מעשי. משעה שגבול החלוקה נחצה יכולים הילדים לגלות את המעשיות של חישובים בכיתה ה'. המטרה לפי שטיינר הינה כדלקמן: "בכיתה ה' אנו רוצים להמשיך עם שברים ושברים עשרוניים כך שנוכל לתת לילדים את כל מה שיאפשר להם לחשב בחופשיות עם מספרים שלמים ושברים"[1].
בכיתה ד' או ה' רישום צורות מוביל לעבר גיאומטריה בסיסית. ניתן להתחיל שוב בקוטביות הקווית הבסיסית של קו מעגלי וישר. בכדי שהתלמידים יקבלו דימוי אינטנסיבי ככל הניתן של צורות אלו, מומלץ שלא ישתמשו בתחילה במחוגה וסרגל, אלא ירשמו ביד חופשית.
על אף העיסוק באלמנטים הבסיסיים ביותר בשיעורי הגיאומטריה הראשונים, חשוב שהתלמידים ירגישו משהו מן המימד הקשור בשאלות קיומיות, מעל ומעבר להיבטים מעשיים ותועלתיים. זה יתרחש ביתר קלות אם נשים דגש על היופי, ועל היחסים והקשרים בין צורות גיאומטריות וזאת בנוסף לחוקים ולמתודות עליהם עובדים.
בהקשר לסיפורים ממצרים העתיקה בשיעורי היסטוריה, ניתן להביא את חבל פיתגורס כמבוא ראשוני למשפט פיתגורס.
הצעות לתוכן:
כיתה ד'
- חשבון בעל-פה (4 הפעולות בשני הכיוונים: מהסכום לחלקים וההפך; תרגילי "שרשרת" עם 4 הפעולות, תרגילי שברים כולל הפיכה של מספר מעורב לשבר וההפך)
- תרגול חישובים כתובים תוך שימוש במספרים גבוהים
- מבוא לשברים: התנסות בשבר כחלק מהשלם. מהחלק לשלם, שברים דומים ושברים שונים. העברת שברים מדומים למספרים מעורבים ולהיפך
- מבוא לשברים עשרוניים
- חזרה: ארבע פעולות החשבון, כפל וחילוק כתובים עם כמה ערכי-מקום
- רישום צורות ביד חופשית מוביל לרישום גיאומטרי. מעגל, מרובע, משולש, משולש שווה שוקיים ומשולש ישר זווית. חלוקת מעגל ל – 4, 5, 6, 8, 12 חלקים שווים. ניתן לעשות זאת ע"י עבודת ניחוש קבוצתית בכיתה. צביעה ודמיון יביאו לביטוי תבניות שונות.
כיתה ה'
- תרגול סדיר וריתמי בחשבון בעל-פה
- חזרה: ארבע הפעולות עם מספרים טבעיים
- שילובים של ארבע הפעולות באותו תרגיל או שאלה
- חישוב בשברים: הרחבה וחיסור של שווי-ערך (חילוק לגורמים ראשוניים)
- איור והשוואת שברים. חישוב עשרוני. גיבוש מתודות לשברים
- מבוא ליחס בין שברים עשרוניים למיקום הנקודה העשרונית
- מדידות בסיוע שברים עשרוניים
- זיהוי קשרים בין מספרים עשרוניים לשברים עשרוניים
הנדסה:
(ברוב בתי הספר מתחילים עם בניות הנדסיות רק בכיתה ו')
המטרה העיקרית החדשה עבור כיתה ה' היא ללמוד לעשות שימוש מדויק במחוגה, אם כי יש מורים שמעדיפים לחכות לתחילת כיתה ו'. את הצורות שנרשמו קודם לכן בכיתה ד' ניתן כעת לבנות במדויק. הילדים יצבעו בטבעיות את אותן צורות דמויות-פרחים וייצרו בכך הקשר ברור לשיעור-הראשי בבוטניקה בכיתה ה'.
ניתן להשתמש גם במשולש-סרטוט ובסרגל עבור רישום מדויק של ישרים מקבילים.
- מתחילים בבניית מעגל, מגלים את הצורות הגיאומטריות העיקריות: משולש, משושה, ריבוע, מעוין, מקבילית, מתומן
- חלוקת מעגל ל-24 נקודות וחיבור כל נקודה לאחרות
- בניית ניצב חוצה, חציית זווית, אנכים
- בניית משולשים שונים: שווה צלעות, שווה שוקיים, שונה צלעות, ישר זווית
- זוויות שונות: חדה, קהה, שטוחה וישרה
- מעגלים משיקים למשולש; משולש חסום במעגל ומשולש חוסם מעגל. (בפנים, בתוך המעגל ובחוץ, בהיקף המעגל)
- משפט פיתגורס; המחשה על-ידי מיתר וקשרים. (המצרים השתמשו בהם לבניית הפירמידות). גרגרים לכיסוי שטח, רישום המשפט תוך שימוש באריחים רומיים (משולש שווה שוקיים)
- בנייה מדויקת של מחומש/כוכב מחומש
רשימה לכיתות ד'-ה' – ידיעת חשבון
מרבית הילדים בטווח היכולת הרגיל יהיו מסוגלים לכך:
מספרים
ד' – לבצע בביטחון את כל ארבע הפעולות החשבוניות
ד' – קריאת והבנת מספרים עד ל-6 ספרות
ד' – ידיעת לוח הכפל עד 12 באופן רציף ובטוח
ד' – כפל ארוך עם מספרים עד 122 בתור מכפיל
ד' – למצוא גורמים של מספר נתון
ד' – זיהוי מספרים ראשוניים בטווח פחות ממאה
ד'-ה' – להשיב על שאלות מורכבות יותר של חשבון בעל-פה, שכוללות פעולות מעורבות (למשל, הרכבת לחיפה שיוצאת ב-12.38, נוסעת 18 דקות, אך יצאה הפעם באיחור של 14 דקות, מתי תגיע ליעדה? או אני מכפיל מספר בשניים, מוסיף 8 ומגיע ל-32, מה היה המספר?)
ד'-ה' – עריכת חילוק ארוך כולל שימוש בשארית ואומדן תשובות משוערות.
ד'-ה' – מציאת כפולה משותפת נמוכה ביותר או גורמים משותפים גבוהים ביותר
ה' – שימוש בכל ארבע הפעולות עם שברים כולל מספרים מעורבים ושברים מדומים
ה' – להבין כיצד להשתמש בסימון עשרוני, שברים עשרוניים וחילוף בין שברים עשרוניים לשברים רגילים
ה' – ביצוע ארבע הפעולות החשבוניות עם שברים עשרוניים.
ה' – ביצוע חילוק ארוך וכפל תוך שימוש בנקודה עשרונית.
ה' – יישום חוק השלושה (אם, אזי, לכן) לבעיות מעשיות.
מדידה
ד' – רישום נתונים כגון גובה, משקל, נפח ועוד
ה' – עבודה עם מדידה מטרית כולל הערכה
ה' – עבודה עם היבטים של זמן כולל שעון 24 שעות.
ה'-ו' – חישוב מהירויות ממוצעות.
גיאומטריה
ה' – רישום ביד חופשית של צורות גיאומטריות אב-טיפוסיות: סוגים שונים של משולשים, מלבנים, מרובעים, מצולעים ומעגלים
ה' – חלוקת מעגל ל-17, 16 או 20 חלקים, גזירת צורות משוכללות מתוכם, כגון מחומש ומשושה
[1] Steiner, R., The Kingdom of Childhood op.cit., lecture of 16th August 1924.
דיון
יש ל התחבר למערכת כדי לצפות ולהשתתף בדיון