מאת: ניצן פריימן
הקדמה
חיבור זה נכתב בעיקר עבור מורי מתמטיקה בכיתות ז' ח', אך אני מאמין כי ניתן לפתח את הכיוונים שאביא בו גם עבור הוראת המתמטיקה בכיתות הצעירות יותר.
הרעיונות שיובאו כאן אינם שלמים או מוגמרים, אלא כיווני מחשבה שאפשר לקחתם הלאה, בתוספת התנסויות שעשיתי עם כיתות החטיבה בהן לימדתי.
על סינתזה ואנליזה
ההרצאה העשירית בספר THE RENEWAL OF EDUCATION של רודולף שטיינר (מייסד חינוך ולדורף) עוסקת בחלקה הראשון בנושא של סינתזה ואנליזה כפעילויות יסוד של הנפש. אביא כאן רק מספר אמירות של שטיינר בתרגום חופשי, אך אני ממליץ בחום לקרוא חלק זה בהרצאה:
"אילו האדם היה צריך תמיד לשאוף לצרף את המושגים שלו לתוך קטגוריות (שזו אחת הפעילויות העיקריות שלו) אז האדם בקושי יכול היה לדבר על חופש. משום שאילו כך היה הדבר, הוא היה תחת התכתיבים של הטבע החיצון".
"כאשר אני עוסק באנליזה, אני יכול לפעול בחופש פנימי מלא, בעוד שכאשר אני עושה סינתזה, אני כפוי ע"י נסיבות חיצוניות להתאים את פעילותי הנפשית להכרח חיצוני".
"אבל מכיוון שבאופן קבוע אנחנו מבצעים, פחות או יותר באופן לא מודע, פעילות נפשית אנליטית זו, אנחנו בני אנוש חופשיים".
בהמשך אומר שטיינר כי מסיבות חיצוניות, דגש רב מדי מושם בחינוך על הפעילות הסינטטית, וקושר בין זה ובין המטריאליזם של תקופתנו. בהרצאה אחרת, באוקספורד, הוא אמר "כאשר הילד רוכש את ההרגל לצרף יחדיו דברים, אנו מקבלים נטייה לחמדנות ותשוקה".
בכדי להבין את ההבדל בין סינתזה לאנליזה בצורה פשוטה, אפשר לחשוב את הניסוי הבא: נניח שעל השולחן לפני מונחת ערימה של עלי שלכת שונים ומגוונים. ונניח גם, שאני מחליט למיין את העלים ולחלקם לערימות נפרדות.
כמובן שיש דרכים רבות מאד לבצע את המשימה. אוכל לחלק את העלים פעם אחת לפי צבעם, פעם שנייה לפי גודלם, לפי סוג הצמח ממנו נשרו, לפי מבנה העורקים בעלה וכן הלאה (למרות שמספר אופני החלוקה הוא מספר סופי מבחינה מתמטית, הרי שמספר הקריטריונים לחלוקה הוא אינסופי).
הפעולה הממושכת, הרדומה משהו, של מיון העלים לפי קריטריון מסוים היא פעולה סינתטית. מרגע שנקבע קריטריון המיון, אני כפוי על ידיו (גם אם אני קבעתי אותו), ומבצע פעולה שאין בה חופש.
היכן כן הייתי חופשי? ביצירת קריטריון המיון. זהו תהליך קצרצר, שכמעט חומק מן התודעה, אך בו אני חופשי. זהו שלב האנליזה, והוא מתאפיין בכך, שבו אינני כפוי ע"י שום אילוץ חיצוני.
הבסיס להוראת החשבון – מהשלם לחלקים
בהרצאות רבות שנתן, התייחס שטיינר בכובד ראש לאופן בו יובאו פעולות החשבון בפני הילדים בכיתה א'. הוא שם דגש על כך שנקודת המוצא תהיה תמיד השלם, ושהפעילות הראשונית תהייה מהשלם אל החלקים ורק אח"כ מהחלקים אל השלם.
דרך הוראה כזו, היוצאת מהשלם, מחזקת ומבססת בילד יסוד נפשי – מוסרי, המשתרע הרבה מעבר לתחום הדעת הנלמד. הדרך להוראה שכזו את פעולות החשבון, כמו גם ההנחיה של שטיינר בלשון, להתחיל תמיד מהשלם, מוכרת היטב למורים בגילאים הצעירים של ביה"ס היסודי.
שאלת המתמטיקה בחטיבה
בניגוד להנחיות המפורטות יחסית שניתנו להוראת החשבון בשנים הראשונות של ביה"ס, ההנחיות שנתן שטיינר להוראת המתמטיקה בחטיבה מאד מצומצמות ותמציתיות. השאלה שניתן לשאול לגבי ההוראה בגילאים אילו היא לכן דומה: האם כאן, אופן הפעולה המוצג ע"י תוכניות וספרי הלימוד הרגילים, אכן תואמים את טבעם של הנערים והנערות, או שמא, גם כאן, נידרש היפוך באופן החשיבה?
אם נדפדף בספרי הלימוד באלגברה ובגיאומטריה לחטיבת הביניים, נמצא שם שפע של שאלות, תרגילי – חישוב, משוואות, בעיות ועוד. המשותף לכולם הוא שהליכה בנתיב הנכון תביא לפתרון המבוקש (אשר בספרים רבים גם נימצא בסוף כל פרק).
השאלה מה כאן השלם ומה החלקים אינה כה ברורה בהתחלה, אבל אם נסתכל במספר דוגמאות, נוכל לפתח תחושה לכך:
תרגיל של כינוס איברים דומים הוא הדוגמא הכי קלה להמחשת העניין. במקרה כמו כאשר אנו מכנסים איברים דומים, אנו עוסקים ללא ספק בפעילות של סינתזה.
בפתרון משוואה ממעלה ראשונה כדוגמת אנו מתחילים גם כן בכינוס איברים דומים. לאחר מכן אנו מפרידים בין מספרים לנעלמים, ולבסוף מגיעים אל הפתרון המבוקש . גם כאן התחושה היא ברורה של תנועה מהחלקים אל השלם- מהריבוי אל האחד- אל הפתרון.
ואם ניקח דוגמא טריוויאלית מתחום הגיאומטריה, ונפתור את השאלה מהו שטחו או היקפו של מלבן שאורכי צלעותיו נתונים? גם כאן אנו נעים מהחלקים- הצלעות, אל המלבן השלם על שטחו והיקפו.
אם בוחנים כך מגוון גדול יותר של שאלות ובעיות, מגיעים לתחושה די ברורה שהפתרון אליו שואפים, הוא למעשה השלם, ושבביצוע הפתרון אנו נעים למעשה מהחלקים אל השלם.
מהשלם אל החלקים
כדי לנוע בכיוון ההפוך- מהשלם אל חלקיו, עלינו להתחיל לכן בשלם – בפיתרון או בתשובה, וללמד את הילדים כיצד ניתן לנוע מהפתרון אל ה"שאלות" – מהשלם אל חלקיו. נלמד אותם לנסח שאלות ובעיות, שזהו בעצם הדבר שלרוב אנו המורים עושים. נעביר לידיהם את מה שבד"כ שמור לנו המורים,( או למחברי ספרי- הלימוד). נעביר לידיהם את הפעילות האנליטית יצירתית- חופשית של כתיבת שאלות, בעיות ותרגילים.
בעוד שהדרך מבעיה אל פתרון היא נתיב אחד צר וחסר מעוף, הרי שהדרך מהפתרון לשאלה היא דרך הולכת ומתרחבת המזמינה חיים, דמיון ויצירתיות.
כיצד בפועל לעשות זאת?
אביא כאן מספר דוגמאות בסיסיות, במספר תחומים של האלגברה והגיאומטריה. האופן בו אני פעלתי בכיתה הייתה לתת דוגמאות ראשונות בהן אני היוצר/ מסבך, ואח"כ לתת לילדים ליצור בעצמם.
מספרים מכוונים
דרך אפשרית להמחשת הנושא היא המעלית. קומה 0- קומת הקרקע היא נקודת מוצא ממנה ניתן לעלות או גם לרדת למרתף, שגם בו יש מספר קומות. במקרה זה יכולתי לחזור בדיוק על מה שעשינו בכיתה א' במפגש הראשון עם חבור וחיסור.
הצגתי את השאלה כך: 'אני בקומה 8 כשלפני כן הייתי בקומה 3. מה אם כן עשיתי?'
והתרגיל נכתב כך: ממש כמו בכיתה א'.
השאלה הבאה היא כמובן: 'אני בקומה 4 כשלפני כן הייתי בקומה 8. מה אם כן עשיתי?'
במקרה זה הביטוי מהווה יציאה מהממשות השלמה, שאפשר לבטאה במילים: אם הגעתי לקומה 4- ולפני כן הייתי בקומה 8, זה אומר שירדתי 12 קומות.
מייד אח"כ יכולים הילדים לנסח שאלות/ תרגילים דומים שהמבנה הבסיסי שלהם הוא 'אם הגעתי לקומה …, ולפני כן הייתי בקומה …, מה אם כן עליתי או ירדתי?'.
צורת הצגה כזו, מאד זמינה מניסיוני לנפש הילדים, ואין שום בעיה להפוך בהמשך את הסדר לאופן הרגיל בו מוצגים תרגילים בספרי הלימוד.
*אם בוחרים, לצורך הצגת הנושא, בחשבון הבנק, אפשר לחוש היטב כמה צורת הצגה זו קשורה יותר למציאות. במקרה כזה, תישמע השאלה כך:'אם היו לי בחשבון 500 ₪, וכעת אני בחוב (מינוס) של 2300 ₪, כמה הוצאתי?' (נשמע מוכר, לא?)
בהמשך, אפשר לבקש מהילדים לכתוב ביטוי המראה כיצד הגעתי לקומה 5 מקומה 5-, כשבדרך עברתי שלושה 'מסעות'?
התשובות לכך רבות כדוגמת: ומגוון ההצעות שמציעים הילדים מזכיר את השמחה של כיתה א' כששואלים את הילדים בכמה דרכים ניתן לחלק 12 לשלוש ערמות שונות.
סדר פעולות
אחרי שהילדים מכירים את חוקי סדר הפעולות, וכבר פתרו תרגילים שהבאתי בפניהם, אפשר להראות להם כיצד גם הם יכולים ליצור תרגילים דומים.
כאן הראיתי לכיתה דרך אחת, בסיסית, בה ניתן 'לייצר' תרגיל כזה. לתלמידים היותר מתקשים זה נתן כלי איתו יכלו לעבוד, ואילו התלמידים המתקדמים יותר החלו מייד לפתח 'דרכי ייצור' מתקדמות יותר משלהם.
הדרך הבסיסית:
א. מתחילים בבחירת מספר- 'פתרון'
ב. הופכים אותו לסכום/ הפרש של שני מספרים (בהמשך, אפשר כמובן גם יותר)
ג. מביעים כל איבר כמכפלה של שני מספרים (שוב, למחפשים אתגר אפשר להשתמש במספרים מכוונים ובחילוק).
כתיבת משוואה
א. מתחילים בפתרון
ב. כופלים את שני האגפים באותו מספר
ג. מוסיפים מספר זהה לשני האגפים
ד. 'מפזרים ומערבבים' (זה כבר שלב יותר מתקדם כמובן)
שאלה אלגברית
- בוחרים פתרון
- מחלקים שני אגפים באותו מספר (גם כאן בחירת הפתרון צריכה הייתה להיות נבונה).
- מחסרים מספר משני האגפים
- מתרגמים לשאלה מילולית: 'אם נחסר 8 מהיחס שבין מספר כלשהו ל 3, נקבל 2-. מהו המספר?'
*בתרגום לשאלה מילולית יש גם כן מקום ליצירתיות- לדוגמא, יכולתי לתרגם משוואה זו גם כך: 'אם אחלק מספר נתון לשלוש, ומהתוצאה אחסר 8, אקבל 2-. מהו המספר?'
סוגריים בתוך סדר פעולות
א. מתחילים במספר- 'הפתרון'.
ב. מביעים אותו כמכפלה
ג. מביעים את אחד משני האיברים כסכום
ד. מביעים את אחד מאברי- הסכום כמכפלה
ה. וכן הלאה…
שטח משולש
א. בוחרים שטח משולש- 'הפתרון'. (כאן אפשר לדבר עם התלמידים, מהי בחירת פתרון נבונה.)
ב. מביעים אותו כמנה של מספר ושתיים.
ג. מביעים את המונה כמכפלה של שני מספרים.
ד. מנסחים את השאלה (או השרטוט): מהו שטחו של משולש שאורך בסיסו 6 ס"מ וגובהו 8 ס"מ?
שטח מלבן
במקרה אחר ביקשתי מהתלמידים לשרטט (נעזרנו בדף משבצות) לפחות שמונה מלבנים ששטחם 12 סמ"ר.( גם זו פעולה המזכירה את מה שעשו עם שקית האפונים בכיתה א')
כיצד לעבוד עם שפע יצירתיות זו בכיתה?
הניסיון לעבוד עם 'מתמטיקה יוצרת', העלה שוב ושוב את השאלה כיצד בפועל לעבוד עם פעילות יצירתית זו בכיתה.
"פתרונות בסוף הפרק", בדיקה משותפת של פתרונות תרגילים ובדיקת מבחנים בשיטת הסרט הנע, מבהירים ללא הותר ספק מדוע, לפחות ברמה החיצונית, רוב מערכת החינוך עובדת עם הפעילות הסינטטית- מהחלקים אל השלם. זה פשוט הרבה יותר נוח.
דרך אחת לעבוד בכיוון של האלגברה היוצרת הוא כמובן בשיחה בכיתה. במקום לשאול את התלמידים את השאלה היבשה "כיצד נפתור את המשוואה הזו?", אפשר לשאול את השאלה המלהיבה יותר "כיצד נסבך את זה?".
עצם השאלה הזו מביאה מניסיוני הרבה יותר ילדים להשתתף, ובהרבה יותר התלהבות.
שתי דרכים נוספות שמצאתי כישימות בכיתה היו אילו:
- כל תלמיד, במחברת תרגול או על דף טיוטא, בורא משוואה/ תרגיל/ שאלה משלו. בשלב הבא, כל תלמיד ניגש ללוח וכותב את התרגיל שיצר ולידו את שמו 'התרגיל של ניר' לדוגמא. אז, פותחים מחברות וכל אחד בוחר מספר תרגילים ופותר אותם, תוך שהוא מציין במחברתו מי 'יוצר התרגיל'. בשלב אחרון בודקים מול 'יוצרי התרגילים' אם אכן הפותרים הגיעו לתשובה נכונה.
היתרון בדרך זו הוא שהתלמידים החזקים ינסו ליצור תרגילים קשים, וגם ינסו להתמודד עם תרגילים קשים מהלוח, וכמובן שכך יעשו גם התלמידים שיותר מתקשים.
גם השיח שמתעורר בכיתה, בעיקר סביב תרגילים שלא נוסחו נכון, מאד מפרה ומעניין.
- תרגול הדדי. כאן, הכיתה מתחלקת לזוגות, כשהבקשה היא להתחלק לזוגות ששווים פחות או יותר ביכולת המתמטית. כל אחד מבני הזוג ממציא וכותב לבן זוגו דף עבודה/ שיעורי בית שהוא יצר. אז מתחלפים, וכל אחד פותר את דף העבודה שקיבל מבן זוגו. ובשלב האחרון- בדיקת הפתרונות ע"י יוצר התרגילים, ואפשר גם להגיע לציון או הערכה הדדית.
שוב, גם כאן, השיח שמתעורר בן בני הזוג יכול להיות מאד מפרה (גם סביב שאלת ההערכה). ואני גם ביקשתי פעמים רבות לראות את העבודות לאחר שקיבלו ציון. התבוננות על תרגילים שיצרו בעצמם, על אופן הפתרון, וגם על אופן ההערכה, נתנו לי תמונה מצוינת לגבי המקום בו הם נמצאים מבחינת יכולותיהם- תמונה שלדעתי טובה בהרבה ממה שניתן להשיג דרך מבחן.
חשוב לי גם לציין, שצורת עבודה שכזו עם האלגברה היוצרת, הביאה תמיד ליותר שמחת חיים וגם אנדרלמוסיה בכיתה. קשה לעבוד בצורה הזו עם הסדר והשקט שמורי מתמטיקה מייחלים להם בשיעורים. אבל מנגד, השמחה, ההתלהבות, והחיוניות שנוצרים בתהליך שכזה, שווים לדעתי את המאמץ הנדרש כדי לתת בכ"ז צורה סבירה למה שמתרחש בכיתה.
ניצן פריימן, בי"ס וולדורף הרדוף
ינואר 2012
דיון
יש ל התחבר למערכת כדי לצפות ולהשתתף בדיון