לימודי המתמטיקה בבית-ספר ולדורף נחלקים לשלושה שלבים. בראשון, הנפרש על פני חמש הכיתות הראשונות, מתמטיקה מפותחת כפעילות שקשורה אינטימית לתהליכי החיים של הילד ומתקדמת מהאלמנט הפנימי לעבר החיצוני. בשני, מכיתה ו' עד ח', הדגש העיקרי הוא על היסוד המעשי. מכיתה ט' ואילך מתרחש מעבר לנקודת-מבט רציונאלית.
(ה. פון באראוולה, מורה המתמטיקה הראשון בבית-ספר ולדורף בשטוטגרט, על הטיפול בנושא זה בספרו "הוראת מתמטיקה ותכנית-הלימודים בבית-ספר ולדורף)[1]
שלב ראשון (כיתות א' עד ה'):
כאן יש להשיב על שתי שאלות:
- כיצד לטפל במושגים המתמטיים הראשונים?
- מהו הבסיס הפסיכולוגי שעליו נבנים מושגים אלה?
שאלה ראשונה: בדיקה מדוקדקת מעלה כי הוראת מושגי חשבון וגיאומטריה קשורה למקום בו נפגשת התודעה עם פעילות אורגניזם התנועה בילד. ספירה היא תנועה פנימית, דרכה ניתן להתבונן בתנועה חיצונית. שוברט מכנה זאת "התוכן החושי של הוראת מתמטיקה".[2] תוצאות מחקרי פיאז'ה על התפתחות האינטליגנציה בילדים מצביעות גם הן בכיוון זה, ילדים צעירים מבצעים עדיין תנועות כשברצונם לקשר דבר אחד לאחר. מכל מקום, תנועות אלה קשורות לאובייקטים פיזיים, מהם הילדים בקושי יכולים להשתחרר, אם בכלל.
וזה מוביל לשאלה השנייה: אם התפתחות המושגים המתמטיים מתרחשת בשלב המוחשי, בו הילד הצעיר עדיין חי לגמרי בתנועה ובדימויים פנימיים, מטרתנו אינה אמורה להיות "הכללה והפשטה", אלא "הפיכה לקונקרטי והתבוננות במקרים אינדיבידואליים."[3] מטרה זו מגדירה את האמצעים בהם אנו יכולים להשתמש על מנת שנימנע מלעמת את הילד עם מבנים לוגיים מופשטים שאינם מתאימים לגילו. כך גם נוכל לפתח את מלוא יכולתו להתנסות מלאת חיים ותנועה במתמטיקה. נוכל לדוגמא להתייחס לתחום רישום הצורות[4] שבאמצעותו אנו מזינים ומתרגלים את התודעה הנחוצה לשימוש במתמטיקה. התנסות זו בצורה ואחר-כך בפעילות פנימית מדמה מהווה בסיס והכנה לכניסה בריאה ל'שלב הפעולות הפורמאליות' (פיאז'ה). הכלל 'מן היד, דרך הלב אל הראש' (אליו התכוונו באומרנו למעלה 'לפתח את מלוא יכולתו'), מאפשר לילדים להביא את יכולותיהם לידי ביטוי. "ברור כי השאלות הטובות והפוריות ביותר לגבי מושגים והסברים באות מתלמידים, שאינם מעלים אותן מתוך זריזות אינטלקטואלית, אלא מתוך יכולת למעורבות רגשית, שמאפשרת לצלילות להיכנס לחשיבה."[5]
לגישה קונקרטית זו למתמטיקה בשלב בית-הספר היסודי עלינו להוסיף דבר, שאינו תלוי באלמנט התנועתי. זוהי האיכות, ניתן לומר הזהות, של המספרים האינדיבידואליים. כשם שהדגש המובא לעיל הוא על גישה כמותית למספרים, כתוצאה של הפוגה קצרה בתנועה או בהתבסס על התנועה עצמה, כך עלינו ליצור מבוא למושגים מספריים איכותיים לצד אלו הכמותיים. אנו מתקרבים לאיכויות אלו על-ידי בחינה של דוגמאות רבות בהן המספר הנידון באמת פעיל בעולם. כך לדוגמה מוצאים את המספר חמש בפרח הוורד. אנו מתכוונים כאן לתשוקה של הילד לשאול מה נמצא מעבר לעולם הנראה, הווה אומר, לחפש מה טמון מעבר לתופעות. מדען הגרעין ו. הייטלר (W. Heitler) התייחס לכך בהרצאה שנשא: "יש לכוון את תשומת-הלב לתופעות איכותיות, לאפיונים שבהם יש משהו הקשור בטוטאליות של האובייקט הנצפה". שטיינר ממליץ לקחת זאת כנקודת-מוצא למבוא בכדי ללמד את המושגים של המספר עצמו.
הגענו בהדרגה לנקודה בנתיב של הציוויליזציה שלנו, בה אנו יכולים לעבוד עם מספרים באופן סינטטי. יש לנו יחידה אחת, יחידה שנייה, יחידה שלישית ואנו נאבקים כשאנו סופרים באופן מחבר ומצרפים את האחת לשנייה, כך שהאחת נחה לצד השנייה. אנו יכולים להיות משוכנעים כי ילדים אינם פוגשים זאת עם הבנה פנימית. בני-אדם בעבר לא פיתחו ספירה בדרך זו. הספירה החלה מהאחדות. שניים לא היה חזרה חיצונית של יחידה, אלא היה מצוי בתוך האחדות. האחד נתן לנו שניים, והשניים היה מוכל באחד. האחד, בהתחלקו, נתן לנו שלוש, והשלוש היה מוכל באחד. אם היינו כותבים את המספר אחד, מתורגם למונחים מודרניים, האחד לא היה יכול לעזוב את האחד ולעבור לדוגמה לשניים. זו הייתה תמונה אורגנית פנימית בה השניים באו מתוך האחד ושניים אלו היו מוכלים באחד, כך גם השלוש וכן הלאה. האחדות הקיפה את הכול והמספרים היו חלוקות אורגניות של האחדות.[6]
דרך איכותית זו להסתכל במספרים מובילה לספרות הכתובות, לסמלים. זו תמונה שונה מהתמונות בהן עושים שימוש בלימוד האותיות, אלו הן תמונות של איכויות המספרים. התמונה שייכת לישות המספר, לא לצורה הסמלית החיצונית. בשלב זה אנו מצביעים על נקודה נוספת של הוראה 'מכוונת לאיכות': היום במיוחד, כאשר אנו מתמודדים עם תוצאות השקפת-העולם הכמותית בקטסטרופה ובהרס האקולוגיים, חשוב במידה הולכת וגוברת להתחיל בדרך זו את הוראת המתמטיקה.
אנו מתחילים אם-כן עם איכויות קונקרטיות של מספרים ובעבודה עם מאפייני תנועה בספירה ובחישוב. כך מפתחים הילדים סוג של אינטליגנציה, שמחפשת ואף מוצאת את הדרך למציאות.
זה מביא אותנו אל השלב השני (הציטוט במבוא של ברוואלה) בגישה להוראה מתמטית שאופיינה לעיל. כאן עלינו לעסוק בשימושים מעשיים של החישוב.
במידה והחישוב תורגל ביסודיות מספקת במהלך השלב הראשון (כיתות ראשונות של בית ספר יסודי), כמתואר, הרי שהחישוב היישומי יקבל גם הוא צביון איכותי. כוחות האינטליגנציה בהם עושים שימוש במתמטיקה עסקית כמו גם באחוזים ובריבית אינם חסרי משמעות אלא יכולים לשמור על צביונם עבור בחינה ושיפוט מאוזנים. בהקשר זה ניתן להצביע על הצעתו של שטיינר, שיש ללמוד יסודות של הנהלת-חשבונות בשיעורי מתמטיקה. בכדי להבין את הרעיון הכללי מאחורי הנחייה זו, ראוי לשאול אלו כישורים עשויים להתפתח על-ידי הנהלת-חשבונות. כך יתגלה יותר מכל כיצד שיטת מסחר מוסרית יכולה להסתייע באורח מכריע באמצעים שכאלה. כל אותם נושאים יכולים להוביל אותנו למטרות חינוכיות נוספות: גמישות פנימית שמובילה לפיתוח הדמיון עבור פתרון בעיות מתמטיות.
באמצעות התנסות באיכויות המספרים חווים הילדים אמון וביטחון: מספר, עולם ואדם שייכים זה לזה. הילדים יחוו ביטחון נוסף על-ידי מתן פתרונות נכונים לבעיות. הם זוכים בכך לעצמאות מסוימת. "מסיבה זו מתמטיקה היא פעילות הולמת לשחרור ילדים מכבלים של סמכות, גם אם הם תלויים תחילה בסיוע המורה."[7] מטרה חינוכית אחרונה, שאין לגרוע מערכה ושקשורה בזו שלפניה, הנה: חישוב אינו אפשרי ללא תרגול קבוע. במיוחד בשלב השני (כיתות ו' עד ח') התרגול חשוב ביותר ומהותי להעמקה ולהתנסות מלאת משמעות בתחום. הוא גם הופך אמצעי נפלא להכשרת הרצון התחומים אחרים.
הצגה מבוארת של השלב השלישי (הציטוט במבוא של ברוואלה) תינתן תחת הכותרת 'אספקטים ומטרות כלליים. כיתות ט'-י"ב'. לכן הושמטה כאן.
גיאומטריה שמהווה חלק מהוראת מתמטיקה מתחילה בכיתות ה'-ו' ונלמדת בדרך-כלל בתקופות לימוד נפרדות. אחת מן התכליות העיקריות של נושא זה היא לפתח ולהזין את היכולת להמחשת המרחב ולפיתוח כוחות הדמיון.
תחום רישום הצורות בכיתות א' – ד' מכין כיאות את הקרקע לעבודה מבוקרת עם תנועה מכוונת ויכולת הערכה של פרופורציות ויחסים המתורגלות תחילה על-ידי גיאומטריה ביד חופשית.
[1] Baravalle, H. Methodishe Gesichtspunkte fuer den Aufbau des Rechenunterrirchts und Waldorfschulplan, Stuttgart, 1984.
[2] Schubert, E. Wie koennen wir durch den Mathematik-unterricht erzieherisch wirken?, in Erziehungskunst Book 4, 1976
[3] שם.
[4] תחום רישום הצורות הוא ייחודי לחינוך ולדורף ומתורגל בכיתות הראשונות של בית הספר היסודי (ראה קטגוריה מתאימה בתוכנית הלימודים).
[5] Ulin, B., Finding the Path: Themes and Methods for the Teaching of Mathematics in a Waldorf School, AWSNA, 1991.
[6] Steiner, R., Soul Economy and Waldorf Education, op. cit., lecture of 31st December 1921
[7] Ulin, B., Finding the Path, op. cit
דיון
יש ל התחבר למערכת כדי לצפות ולהשתתף בדיון